高中数学教学中含参数问题的分类讨论

杨多丽     湖北省鹤峰县第一高级中学

 分类讨论是一种数学思想，也是解决问题的一种逻辑方法。它既具有明显的逻辑特点，又能训练人思维的条理性和概括性。当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要把研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。事实上，分类讨论就是“化整为零，逐个击破，再积零为整”的解题策略。
     引起分类讨论的原因大致有如下几种：(1)由数学概念、性质定理、公式的限制引起的分类讨论；(2)由数学运算性质引起的分类讨论；(3)由条件或结论不唯一，数值大小不确定，图形位置不确定引起的分类讨论；(4)由实际意义引起的分类。
     正确进行分类有几项原则：一是要层次分明，有明确的分类标准，即分类的确定性；二是对参数分类时要“不重复不遗漏”，分成的若干类其并集为全集，两两的交集为空集，即分类应具有“完整性和互斥性”；三是分类的逐级性，有些参数仅靠一次分类不能解决问题时，对其某一类还必须进行多个级次的分类。但在同级分类中，其标准必须唯一，讨论不可越级完成，否则极易导致混乱。
　　分类讨论的基本步骤：（1）确定讨论的对象和范围；（2）确定分类的标准；（3）逐步讨论（或多级分类）；（4）总结概括，得出结论。
　　在教学中我通过大量的习题进行了系统的探索，因受篇幅限制，现就以下几个简单的例子加以探讨。
一、恒成立中二次函数的分类讨论问题：
　　例1. 若时，不等式恒成立，求的取值范围。
　　[评述]设，则问题转化为时，的最小值非负。这种（定区间动轴）问题必须对参数a进行分类讨论：（1）；（2）；（3）。对于二次函数在给定区间上的最值问题，当对称轴含字母时，一定要注意对称轴x=－是否在[m, n]中，即根据对称轴与区间的左、中、右三种位置情况进行分类讨论。同理，对于“定轴动区间”的题型也进行类似讨论即可。
二、函数单调性中的分类讨论问题：
　　例2.已知函数，求的单调区间。
　　[评述] 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制。利用导数解函数(可求导函数)的单调性，可转化为对相应导函数在何处取正、何处取负的讨论。因令
得，故应对在定义域内或外进行分类讨论。若有多个讨论点时，还要注意讨论的顺序与层次。
三、在公式中的分类讨论问题：
　　例3．求的前n项和。
　　[评述]这是一种由公式适用范围导致的分类讨论，在用分组法求解时，应注意讨论等比数列公式中公比q＝1和q≠1（即：a＝1和a≠1）进行简单讨论。部分题目还需要对项数 n的奇偶性进行分类讨论。因此在运用每一个基本公式时，都必须确定其适用范围。
四、在几何中利用“数形结合法”分类讨论问题：
　　例4.求过点（0,1）且与抛物线y2＝2x仅有一个公共点的直线方程。
　　[评述]该题应先对斜率k存在和不存在进行讨论，然后在k存在时，继续对二次项系数k=0和k≠0进行逐级讨论，否则极易漏掉x=0和y=1这两个解。（同类题型还有动直线与双曲线只有一个交点问题的分类讨论）
五、排列组合中“不重不漏”的分类讨论问题：
　　例5．有卡片9张，将0，1，2，……，8这九个数字分别写在每张卡片上，现从中任取3张组成三位数，若6可当9用，问可组成多少个不同的三位数？
　　[评述]大部分排列组合的应用题需要分类讨论来求解，它与前面的例题不同，它不是就某个字母的取值范围进行划分，而是就处理问题时的不同方法去分类。由于6可当9用，故可先分为含6和不含6这两大类讨论，然后分别再对含0和不含0进行逐级讨论。（又如：若上题中再加上9，且9也可当6用，其余条件不变，则有多少个三位数？）排列组合中分类讨论往往带有“隐蔽性”，因此要做到“不重不漏”的分类，就应抓住限制条件，准确把握分类对象和标准，从中选择最为合理的分类途径来解决问题。
　　对于分类讨论题不要急于直接进行分类讨论，首先应认真审查题目的特点，考虑是否可以用合适的公式、法则，能否进行某种变形，可否改变常规的思维方式和解题策略，即能否消除或掩盖“讨论基因”，若能，则可避免进行繁杂的分类讨论；若不能，可否先作某些等价变换，使讨论推迟到来，这种延迟讨论有时也是一种简化和一种进步。当通过了一番试验，仍无法做到完全回避讨论或延迟讨论，这可能就是“不可避免的直接讨论型”问题，这时我们就应遵循分类讨论的原则去攻克它。
　　分类讨论是一种重要的解题策略，它可以将整体化为局部，将复杂问题化为单一问题，以便于“逐个击破”。但由于分类讨论一般过程较为冗长，叙述较为烦琐，且极易在完备上造成失误，因此它并非一定是解决问题的上策或良策，我们提倡在熟悉和掌握分类讨论思想的同时，不要盲目或机械地进行分类讨论，有的题目虽然含有分类因素，但不要急于分类讨论，要首先对问题作深入的研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系，寻求正确的解题策略，从而简化分类讨论的步骤或避免不必要的分类讨论，使解题更简单。更要注意克服思维定势，处理好“分”与“合”，“局部”与“整体”之间的辨证统一关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论。